信号与线性系统分析

时域

奇异函数信号

冲激函数

冲激偶函数

$$ \int_{-\infty}^t x\delta (x) dx = \epsilon(t) $$

使用分部积分法可求解

零状态响应

LTI系统的零状态响应的线性性质、时不变性和微分性质

设激励为 $f(\cdot)$ , 零状态响应为 $y(\cdot) $

$$ y(\cdot) = T[f(\cdot)] $$

线性性质

$$ T[af(\cdot)] = aT[f(\cdot)] $$

时不变性

$$ \left. \begin{align} T[f(t-t_d)] &= y(t-t_d) \\ T[f(k-k_d)] &= y(k-k_d) \end{align} \right\} $$

微分性质(只有连续信号才有微分)

$$ T[\frac{df(t)}{dt}] = \frac{dy(t)}{dt} $$

变换域

1. 变换域的定义（时域到变换域）

2. 复频域的收敛域

3. 变换域与时域的性质

• 线性
• 尺度变换（变量数乘）
• 时移/频移（变量加减常量）
• 时域微积分
• 频域微积分
• 时域卷积
• 频域卷积
• 复频域：初值定理/终值定理

4. 逆变换

5. 变换域分析

• 微分方程的变换解
• 系统函数
• 系统框图

傅里叶变换

1. 正交函数(集)

定义:

​ 如有 $n$个函数 $\phi_1(t), \phi_2(t), ..., \phi_n(t)$ 构成一个函数集, 当这些函数在区间 $(t_1, t_2)$ 内满足:

$$ \int_{t_1}^{t_2}\phi_i(t)\phi_j(t) = \left\{ \begin{align} 0 &, \quad i \neq j \\ K_i \neq 0 &, \quad i=j \\ \end{align} \right. $$

​ 式中 $K_i$ 为常数, 则称此函数集为在区间 $(t_1, t_2)$ 的正交函数集. 在区间 $(t_1, t_2)$ 内相互正交的 $n$ 个函数构成正交信号空间.

信号分析中的两个常见正交函数集:

三角函数

$$ \{1, \cos(\Omega t), \cos(2\Omega t), ..., \cos(m\Omega t), ..., \sin(\Omega t), \sin(2\Omega t), ... ,sin(n\Omega t), ...\} $$

指数函数

$$ \{e^{jn\Omega t}\} \quad (n=0,\pm1,\pm2,...) $$

帕萨瓦尔方程(判定信号函数可分解为正交函数的依据)

$$ \int_{t_1}^{t_2}f^2(t)dt = \sum_{j=1}^\infty C_j^2K_j $$

2. 傅里叶级数

周期信号的傅里叶变换结果是离散的

• 傅里叶变换的前提:
  ​ 函数 $f(t)$ 满足狄里赫利条件

  1. 函数在任意有限区间内连续, 或只有有限个第一类间断点;
  2. 在一个周期内, 函数有有限个极大值或极小值.

周期信号的傅里叶展开(傅里叶级数的三角函数形式)

$$ \begin{align} f(t) &= \frac{a_0}{2} + a_1\cos(\Omega t)+a_2\cos(\Omega t)+...+b_1\sin(\Omega t)+b_2\sin(\Omega t)+...+ \\ &=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(n\Omega t)+\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\Omega t) \end{align} $$

上式中 $a_n, b_n$ 称为傅里叶系数. 傅里叶系数的求解方法如下式:

$$ \begin{align} a_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt, \quad n = 0,1,2,... \\ b_n &= \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt, \quad n = 1,2,... \end{align} $$

式中 $T$ 为函数的周期, $\Omega=\frac{2\pi}{T}$ 是角频率

将上述展开式的同频率项合并, 可得到下述形式:

$$ \begin{align} f(t) &= \frac{A_0}{2} + A_1\cos(\Omega t+\phi_1)+A_2\cos(2\Omega t+\phi_2)+... \\ &=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty A_n\cos(n\Omega t+\phi_n) \end{align} $$

其中, 上式各系数与原式的关系满足:

$$ \left. \begin{aligned} A_0 &= a_0 \\ A_n &= \sqrt{a_n^2+b_n^2}, \quad n=1,2,... \\ \phi_n &= -\arctan({\frac{b_n}{a_n}}) \end{aligned} \right\}\\ \left. ~\\ ~\\ \begin{aligned} a_0 &= A_0 \\ a_n &= A_n\cos(\phi_n), \quad n=1,2,... \\ b_n &= -A_n\sin(\phi_n), \end{aligned} \right\} $$

奇偶函数的傅里叶级数

1. 奇函数

$$ \left. \begin{aligned} a_n &= 0 \\ b_n &= \frac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt \end{aligned} \right\} ~\\ ~\\ ~\\ \left. \begin{aligned} A_n &= |b_n|,\\ \phi_n &= \frac{(2m+1)\pi}{2} \end{aligned} \right\} $$

2. 偶函数

$$ \left. \begin{aligned} a_n &= \frac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt \\ b_n &= 0 \end{aligned} \right\} ~\\ ~\\ ~\\ \left. \begin{aligned} A_n &= |a_n|,\\ \phi_n &= m\pi \end{aligned} \right\} $$

3. 奇谐函数

傅里叶级数的指数形式

$$ \cos x = \frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2} \quad \quad \Rightarrow \\ f(t) = \frac{1}{2}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\Omega t} $$

称上式中 $\Omega$ 为相位, $F_n$ 为复数幅度

其中, 傅里叶系数 $F_n$ 为:

$$ \begin{aligned} F_n &= \frac{1}{2}A_ne^{j\phi_n}\\ &= \frac{1}{2}(A_n\cos\phi_n+jA_n\sin\phi_n)\\ &= \frac{1}{2}(a_n-jb_n)\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt, \quad n=0, \pm1, \pm2,... \end{aligned} $$

傅里叶级数总结

3. 信号的频谱

周期信号的频谱(离散谱)

由周期信号的傅里叶级数可知:

$$ \begin{aligned} f(t) &= \frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\Omega t + \phi_n) \\ f(t) &= \sum_{n = -\infty}^\infty F_ne^{-jn\Omega t} \end{aligned} $$

其中, $F_n = \frac{1}{2}A_ne^{j\phi_n} = |F_n|e^{j\phi_n}$ . 令自变量为频率 $\omega$ ,因变量为幅度 $A_n$ 或 $|F_n|$ , 绘制成二维坐标图像则为周期信号的频谱.

周期信号的功率

帕萨瓦尔恒等式(能量恒等):

$$ P = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f^2(t)dt = |F_0|^2 + 2\sum_{n=1}^{\infty}|F_n|^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2 $$

它表示对于周期信号, 在时域中求得的信号功率与在频域中求得的信号功率相等

非周期信号的频谱

令周期信号的周期为无穷大, 由频谱可以看出, 相邻谱线的间距 $\Omega$ 趋向于无穷小, 从而信号的频谱密集成为连续频谱; 同时各频率分量的幅度也趋近于无穷小, 因此幅度不再适合作为纵坐标, 改用频谱密度作为纵坐标

频谱密度$F(j\omega)$

定义:

$$ F(j\omega) = \lim_{T\rightarrow\infty}\frac{F_n}{1/T} = \lim_{T\rightarrow\infty}F_nT $$

4. $\star$ 傅里叶变换

定义与计算:

$$ \begin{gather} F(j\omega) = \lim_{T\rightarrow\infty}F_nT = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt \\ f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t}d\omega \end{gather} $$

频谱密度函数 $F(j\omega)$ 是一个复函数, 它可以写为:

$$ F(j\omega) = |F(j\omega)|e^{j\phi(\omega)} = R(\omega) + jX(\omega) $$

在电路分析中, 它可以理解为:

​ 负阻抗 = (阻抗模, 阻抗角) = 电阻 + j电抗

由

$$ f(t) = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty|F(j\omega)|\cos(\omega t+\phi(\omega))d\omega $$

可知, 非周期信号可看作是由不同频率的余弦"分量"所组成, 它包含了频率从零到无限大的一切频率"分量".

由式 $\frac{|F(j\omega)|}{\pi} = 2|F(j\omega)|df$ 相当于各"分量"的振幅, 它是无穷小量, 所以信号的频谱不能再用幅度表示, 而改用密度函数表示. $|F(j\omega)|$ 可以看作是单位频率的振幅, 称函数 $F(j\omega)$ 为 频谱密度函数.

傅里叶变换的充分条件是: 函数 $f(t)$ 在无限区间内绝对可积.即:

$$ \int_{-\infty}^\infty|f(t)|dt < \infty $$

傅里叶变换的频谱图像:

若以三角函数形式表示频谱密度函数, 则图像为单边谱; 若以虚指数函数形式表示频谱密度函数, 则图像为双边谱.

傅里叶变换的性质

若有 $f(t) \leftrightarrow F(j\omega)$

1. 线性

$$ a_1f_1(t) + a_2f_2(t) \leftrightarrow a_1F_1(j\omega)+a_2F_2(j\omega) $$

2. 奇偶性

$f(t)$ 为实函数

$$ \begin{gather} R(\omega) = R(-\omega) ,\ X(\omega) = -X(-\omega),\ |F(j\omega)| = |F(-j\omega)|,\ \phi(\omega) = -\phi(-\omega) \\ f(-t) \leftrightarrow F(-j\omega) = F^*(j\omega) \\ \text{if} \quad f(t)=f(-t)\quad\text{then} \quad X(\omega)=0, F(j\omega) = R(\omega)\quad \text{(even function)} \\ \text{if} \quad f(t)=-f(-t) \quad \text{then} \quad R(\omega)=0, F(j\omega) = jX(\omega)\quad \text{(odd function)} \end{gather} $$

$f(t)$ 为虚函数

$$ \begin{gather} R(\omega) = -R(-\omega) ,\ X(\omega) = X(-\omega),\ |F(j\omega)| = |F(-j\omega)|,\ \phi(\omega) = -\phi(-\omega) \\ f(-t) \leftrightarrow F(-j\omega) = -F^*(j\omega) \\ \end{gather} $$

3. 对称性

$$ F(jt) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega) $$

4. 尺度变换

$$ f(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a}) $$

5. 时移特性

$$ f(t\pm t_0) \leftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}F(j\omega) $$

6. 频移特性

$$ f(t)e^{\pm j\omega_0t} \leftrightarrow F[j(\omega \mp \omega_0)] $$

7. 卷积定理

时域卷积

定理

$$ f_1(t)*f_2(t) \leftrightarrow F_1(j\omega)F_2(j\omega) $$

频域卷积

定理

$$ f_1(t)f_2(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(j\omega)*F_2(j\omega) $$

上式中,

$$ F_1(j\omega)*F_2(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty F_1(j\eta)F_2(j\omega - j\eta)d\eta $$

8. 时域微分和积分

$$ f^{(n)}(t) \leftrightarrow (j\omega)^nF(j\omega)\\ ~\\ ~\\ f^{(-1)}(t) \leftrightarrow \pi F(0)\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}F(j\omega) $$

9. 频域微分和积分

$$ (-jt)^nf(t) \leftrightarrow F^{(n)}(j\omega)\\ ~\\ ~\\ \pi f(0)\delta(t)+\frac{1}{-jt}f(t) \leftrightarrow F^{(-1)}(j\omega) $$

10. 相关定理

常用傅里叶变换对

门函数

$$ g_\tau(t) \leftrightarrow \frac{2}{\omega}\sin(\frac{\omega \tau}{2}) = \tau Sa(\frac{\omega\tau}{2}) $$

冲激函数

$$ \delta(t) \leftrightarrow 1 $$

冲激偶函数

$$ \delta^{(n)} \leftrightarrow (j\omega)^n $$

三角函数

$$ \cos(\omega_0t) \leftrightarrow \pi(\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)) \\ \sin(\omega_0t) \leftrightarrow j\pi(\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)) $$

单边指数脉冲

$$ e^{-\alpha t}\epsilon(t), \ \alpha>0 \quad\leftrightarrow \quad \frac{1}{\alpha+j\omega} $$

偶双边指数脉冲

$$ e^{-\alpha|t|}\epsilon(t), \ \alpha > 0\quad \leftrightarrow \quad \frac{2\alpha}{\alpha^2 + \omega^2} $$

符号函数

$$ sgn(t) \leftrightarrow \frac{2}{j\omega} $$

疏状函数

$$ \delta_1(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t - nT) \quad \leftrightarrow \quad \\ \delta_\omega(t) = \Omega\sum_{n = -\infty}^\infty\delta(\omega - n\Omega), \Omega = \frac{2\pi}{T} $$

傅里叶级数

$$ \sum_{n = -\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t} \leftrightarrow 2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty F_n\delta(\omega-n\Omega), \Omega=\frac{2\pi}{T} $$

5. 周期信号的傅里叶变换(傅里叶级数与傅里叶变换的关系)

设周期信号的周期为 $T$ , 基波角频率为 $\Omega = \frac{2\pi}{T}$ , 傅里叶系数为 $F_n$

$$ f_T(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty F_ne^{jn\Omega t} $$

周期信号的傅里叶变换:

$$ \begin{aligned} {\cal F}(f_T(t)) &= 2\pi\sum_{n=-\infty}^\infty F_n\delta(\omega-n\Omega) \\ &= \Omega\sum_{n=-\infty}^\infty F_0(jn\Omega)\delta(\omega-n\Omega) \end{aligned} $$

周期信号 $f_T(t)$ 的傅里叶系数 $F_n$ 与其第一个周期的单脉冲信号频谱 $F_0(j\omega)$ 的关系为:

$$ F_n = \frac{1}{T} F_0(jn\Omega) = \frac{1}{T}F_0(j\omega) \bigg{|}_{\omega = n\Omega} $$

6. $\star$ LTI系统的频域分析

傅里叶分析是将信号分解成无穷多项不同频率的虚指数函数之和, 其中, 频率为 $\omega$ 的分量为

$$ \frac{F(j\omega)d\omega}{2\pi} $$

频率响应

LTI系统在 $t=-\infty$ 时系统状态为零, 因此LTI系统的频率响应为零状态响应

虚指数函数的零状态响应

$$ \begin{aligned} y(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau \cdot e^{j\omega t} \\ &= H(j\omega)e^{j\omega t} \end{aligned} $$

频率响应函数

$$ \begin{aligned} H(j\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}h(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau \\ &= |H(j\omega)| e^{j\phi(\omega)} \end{aligned} $$

其中,

$$ \begin{gather} |H(j\omega)| = \frac{|Y(j\omega)|}{|F(j\omega)|} \\ \phi(\omega) = \theta_y(\omega) - \phi_f(\omega) \end{gather} $$

$|H(j\omega)|$ 称为幅频特性, $\phi(\omega)$ 称为相频特性

任意信号 $f(t)$ 的零状态响应

$$ \begin{aligned} y(t) &= \int_{-\infty}^{\infty}\frac{F(j\omega)d\omega}{2\pi}H(j\omega)e^{j\omega t} \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)H(j\omega)e^{j\omega t} d\omega \end{aligned} $$

设任意信号的零状态响应的傅里叶变换为 $Y(t)$ , 则由上式可得

$$ H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{F(j\omega)} $$

无失真传输

定义: 输出信号与输入信号相比, 只有幅度的大小和出现的时间先后不同, 而没有波形上的变化. 即

$$ y(t) = Kf(t-t_d) $$

对上式两边求傅里叶变化可得

$$ H(j\omega) = Ke^{-j\omega t_d} \\ ~\\ \Rightarrow \quad \left. \begin{gather} |H(j\omega)| = K \\ \phi(\omega) = -\omega t_d \end{gather} \right\} $$

理想低通滤波器的响应

7. $\star$ 取样定理

设取样信号为 $f_s(t)$ , 取样开关函数为 $s(t)$ , 连续信号 $f(t)$ . 则:

$$ f_s(t) = f(t)s(t) $$

如果开关函数(取样脉冲)的时间间隔相同(均为 $T_s$ ), 则称为均匀取样. $T_s$ 称为取样周期, $f_s = \frac{1}{T_s}$ 称为取样频率

冲激取样

矩形脉冲取样

时域取样定理

一个频谱在区间 $(-\omega_m, \omega_m)$ 以外为零的频带有限信号, 可唯一地由其在均匀间隔 $T_s(T_s<\frac{1}{2f_m})$ 上的样点值 $f(nT_s)$ 确定.

通常称 $f_s = 2f_m$ 称为奈奎斯特频率 , 把最大允许取样间隔 $T_s = \frac{1}{2f_m}$ 称为奈奎斯特间隔.

频域取样定理

8. 离散傅里叶分析

拉普拉斯变换

定义与计算

收敛域

逆变换

常用拉普拉斯变换对

冲激函数

$$ \delta(t) \leftrightarrow 1 $$

冲激偶函数

$$ \delta^,(t) \leftrightarrow s $$

阶跃函数

$$ \epsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{s} $$

单边负指数函数

$$ b_0e^{-\alpha t}\epsilon(t) \leftrightarrow \frac{b_0}{s+\alpha} $$

三角函数

$$ \sin(\beta t)\epsilon(t) \leftrightarrow \frac{\beta}{s^2 + \beta^2} \\ \cos(\beta t)\epsilon(t) \leftrightarrow \frac{s}{s^2+\beta ^2} $$

拉普拉斯变换的性质

时域微分性质

$$ \begin{gather} f^{(1)}(t) \leftrightarrow sF(s) - f(0_-) \quad \sigma > \sigma_0 \\ f^n(t) \leftrightarrow s^nF(s) - \sum_{m=0}^{n-1}s^{n-1-m}f^{(m)}(0_-) \quad \end{gather} $$

初值定理和终值定理

初值定理和终值定理常用于由 $F(s)$ 直接求 $f(0_+), f(\infty)$ 的值, 而不必求出原函数 $f(t)$

初值定理

设函数 $f(t)$ 不包含 $\delta(t)$ 及其导数, 且

$$ f(t) \leftrightarrow F(s) \quad Re[s] > \sigma_0 $$

则有

$$ \begin{align} f(0_+) &= \lim_{t\rightarrow0_+}f(t) = \lim_{s \rightarrow\infty}sF(s) \\ f^,(0_+) &= \lim_{s\rightarrow\infty}s[sF(s)-f(0_+)] \\ f^{,,}(0_+) &= \lim_{s\rightarrow\infty}s[s^2F(s) - sf(0_+) - f^,(0_+)] \end{align} $$

其中, 在应用初值定理时, $F(s)$ 要求必须是真分式, 如若不是真分式, 则应将其转化成 多项式+真分式 的形式, 再对转化后的真分式求极限.

终值定理

若函数 $f(t)$ 当 $s\rightarrow 0$ 时的极限存在, 且

$$ f(t) \leftrightarrow F(s) \quad Re[s] > \sigma_0, \sigma_0<0 $$

则有

$$ f(\infty) = \lim_{s\rightarrow0}sF(s) $$

注意, 终值定理是取 $s\rightarrow0$ 的极限, 因而 $s=0$ 的点应在 $sF(s)$ 的收敛域内, 否则不能应用终值定理.

复频域分析

1. 微分方程的变换解

2.系统函数

3. 系统的s域框图

4. 电路的s域模型

5. 拉普拉斯变换与傅里叶变换

离散系统的z变换 (离散拉普拉斯变换)

定义与计算

收敛域

z变换的性质

逆变换

z域分析

1. 差分方程的z域解

2. 系统函数

3. 系统的z域框图

4. s域与z域的关系

5. 借助DTFT求离散系统的频率响应

系统函数

系统函数与系统特性

1. 系统函数与零极点

2. 系统函数与时域响应

3. 系统函数与频域响应

系统的因果性与稳定性

信号流图

1. 信号流图

2. 梅森公式

系统的结构

1. 直接实现

2. 级联和并联实现

系统的状态变量分析

状态变量与状态方程

连续系统状态方程的建立

离散系统状态方程的建立与模拟

连续系统状态方程的求解

离散系统状态方程的求解