电路(下) 笔记
1. 三相电路
1. 三相电压的关系
瞬时值表达式
$$ \begin{aligned} u_A &=\sqrt{2}U\cos(\omega t) \\ u_B &=\sqrt{2}U\cos(\omega t-120^{\circ}) \\ u_C &=\sqrt{2}U\cos(\omega t+120^{\circ}) \end{aligned} $$
相量式
$$ \begin{align} \dot{U}_A &= \dot{U}\angle0^\circ \\ \dot{U}_B &= \dot{U}\angle-120^\circ =a^2\dot{U}_A \\ \dot{U}_C &= \dot{U}\angle120^\circ = a\dot{U}_A \end{align} $$
其中, $a=1\angle120^\circ$, 它是工程上为了方便引入的单位相量算子
2. 线电压(电流)与相电压(电流)
- 流经输电线的电流成为线电流, 各输电线线段之间的电压为线电压, 三相电源、三相负载中每一相的电压、电流称为相电压和相电流
对称星形电源->线/相电压关系
$$ \begin{align} \dot{U}_{AB}&=(1-a^2)\dot{U}_A=\sqrt{3}\dot{U}_A\angle{30^\circ} \\ \dot{U}_{BC}&=(1-a^2)\dot{U}_B=\sqrt{3}\dot{U}_B\angle{30^\circ} \\ \dot{U}_{VA}&=(1-a^2)\dot{U}_C=\sqrt{3}\dot{U}_C\angle{30^\circ} \end{align} $$
对称三角形电源->线/相电压关系
$$ \begin{align} \dot{U}_{AB} = \dot{U}_A \\ \dot{U}_{BC} = \dot{U}_B \\ \dot{U}_{CA} = \dot{U}_C \end{align} $$
- 对称星形电源->对称星形负载 ->线/相电流间关系
线电流等于相电流 对称星形电源->对称三角形负载->线/相电流间关系
$$ \begin{align} \dot{I}_A &= (1-a)\dot{I}_{A^`B^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \\ \dot{I}_B &= (1-a)\dot{I}_{B^`C^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \\ \dot{I}_C &= (1-a)\dot{I}_{C^`A^`} = \sqrt{3}\dot{I}_{A^`B^`}\angle-30^\circ \end{align} $$
3. 三相电路的功率
三相电路中, 三相负载吸收的复功率等于各项复功率之和
$$ \overline{S} = \overline{S}_A+\overline{S}_B+\overline{S}_C $$
三相电路瞬时功率
$$ p=p_A+p_B+p_C=3U_{AN}I_A\cos\phi=3P_A $$
对称三相电路的瞬时功率是一个常量, 其值等于平均功率
对称三相电路功率的计算:
一相功率: $P_p = U_pI_p\cos\phi$
三相总功率: $P=3U_pI_p\cos\phi$
用线值表示, 有:
$$ \left\{ \begin{gather} U_p=\frac{1}{\sqrt{3}}U_l,\;I_p=I_l\quad(Y) \\ U_p=U_l,\;I_P=\frac{1}{\sqrt{3}}I_l\quad{(\Delta})\\ \end{gather} \right. \\ ~\\ \Rightarrow \quad P=\sqrt{3}U_lI_l\cos\phi $$
其中, $\phi$为负载的阻抗角, 对称电路的$\phi$和每一相的$\phi$是一样的
二表法
功率表读数:
$$ \begin{align} P_1&=Re[\dot{U}_{AC}\dot{I}_{A}^*] =\dot{U}_{AC}\dot{I}_{A}\cos\phi_1\\ P_2&=Re[\dot{U}_{BC}\dot{I}_{B}^*] =\dot{U}_{BC}\dot{I}_{B}\cos\phi_2 \end{align} \\ \therefore P_1+P_2=Re[\overline{S}] $$
令$\dot{U}_A=U_A\angle0^\circ, \dot{I}_A=I_A\angle-\phi$, 有
$$ \begin{align} P_1&=Re[\dot{U}_{AC}\dot{I}_A^*]=U_{AC}I_A\cos(\phi-30^\circ) \\ P_2&=Re[\dot{U}_{BC}\dot{I}_B^*]=U_{BC}I_B\cos(\phi+30^\circ) \end{align} \\ ~\\ \therefore \quad P=\sqrt{3}U_lI_l\cos\phi $$
非对称负载不能使用二表法
2. 非正弦周期电流电路和信号的频谱
1. 傅里叶级数展开式
$$ \begin{align} f(t)&=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{[a_k\cos(k\omega_1t)+b_k\sin(k\omega_1t)]} \\ &= \frac{A_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{A_{km}\cos(k\omega_1t+\phi_k)} \end{align} $$
求解上式中系数$a_k$和系数$b_k$可用以下积分方法:
$$ \begin{align} a_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(t)\cos(k\omega_1t)d(\omega_1t)} \\ b_k&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi{f(t)\sin(k\omega_1t)d(\omega_1t)} \end{align} $$
2. 非线性元件的阻抗值会因$\omega$的值而变化, 求解非线性电路时应分别分析各次谐波, 之后再叠加结果
3. 关于谐振
- 并联谐振时对谐振频率的电流而言, 导纳为零, 即意味着该电流被开路
- 串联谐振时对谐振频率的电流而言, 阻抗为零, 即意味着该电流被短路
3. 线性动态电路的复频域分析 (s域分析)
1. 拉普拉斯(Laplace)变换的定义式
$$ \left\{ \begin{gather}F(s)=\int_{0_-}^\infty{f(t)e^{-st}}dt\\ s=\sigma+j\omega \end{gather} \right. $$
当$\sigma = 0$时, 有${\cal L}[f(t)] = {\cal F}[f(t)]$
2. 拉普拉斯变换的基本性质
线性性质
$$ {\cal L}[A_1f_1(t)+A_2f_2(t)]=A_1F_1(s)+A_2F_2(s) $$
微分性质
$$ {\cal L}[f(t)]=F(s) \\ \Rightarrow {\cal L}[f^{'}(t)]=sF(s)-f(0_-) $$
积分性质
$$ {\cal L}[f(t)]=F(s) \\ \Rightarrow {\cal L} \left[ \int_{0_-}^t{f(\xi)d\xi} \right] = \frac{F(s)}{s} $$
延迟性质
$$ {\cal L}[f(t)] = F(s) \\ \Rightarrow {\cal L}[f(t-t_0)\epsilon(t-t_0)] = e^{-st_0}F(s) $$
卷积定理
$$ {\cal L}[f_1(t) * f_2(t)]=F_1(s)F_2(s) $$
3. 运算电路
运算电路介绍:
基尔霍夫定律的时域表达式为:
对任一结点, $\sum{i(t)}=0$ ; 对任一回路, $\sum{u(t)}=0$ .
根据拉氏变换的线性性质得出基尔霍夫定律的运算形式为:
对任一结点
$$ \sum{I(s)}=0 $$
对任一回路
$$ \sum{U(s)} = 0 $$
运算法求解
运算法的思路是使用拉氏变换将时域的微分方程转为复频域的线性方程以简化运算, 求得目标解的像函数(运算结果是一个s的函数), 再进行逆变换求得微分方程的时域解(时域解是一个时间函数)
求解思路图示
$$ \begin{align} &u(t)\;\Rightarrow \; &i(t) \\ &\downarrow &\uparrow \\ &U(s) \;\rightarrow \; &I(s) \end{align} $$
电阻元件的运算形式
$$ U(s) = RI(s) $$
电容元件的运算形式
$$ \left\{ \begin{align} I(s) = sCU(s) - Cu(0_-) \\ U(s) = \frac{1}{sC}I(s)+\frac{u(0_-)}{s} \end{align} \right. $$
电感元件的运算形式
$$ \left\{ \begin{align} U(s) = sLI(s) - Li(0_-) \\ I(s) = \frac{1}{sL}U(s)+\frac{i(0_-)}{s} \end{align} \right. $$
- 从元件的运算形式可以看出, 元件的运算表示式中存在一个初始值($0_-$), 所以在运算电路中, 应该将这个初始值($0_-$)以并联电流源或串联电压源的形式表示.
- 在具有耦合电感的电路中, 应将耦合电感也转化为对应的运算形式, 并连接到运算电路中.
耦合电感的初始值($0_-$)和状态值($U(s), I(s)$)由对端线圈决定, 例如:
$$ \left\{ \begin{align} U_1(s) &= sL_1I_1(s)-L_1i_1(0_-)+\boxed{sMI_2(s)-Mi_2(0_-)} \\ U_2(s) &= sL_2I_2(s)-L_2i_2(0_-)+\boxed{sMI_1(s)-Mi_1(0_-)} \end{align} \right. $$
## 4. 电路方程的矩阵形式
1. 电路结构矩阵
1. 结点-支路 关联矩阵(关联矩阵 $A_a$)
设一条支路连接于某两个结点, 则称该支路与这两个结点相关联
结点支路关联矩阵规则:
- 行对应结点, 列对应支路
元素的值:
- +1 表示支路与结点相关联且它的方向背离结点
- -1 表示支路与结点相关连且它的方向指向结点
- 0 表示支路与结点无关联
2. 回路-支路 关联矩阵(回路矩阵 $B$ )
设一个回路由某些支路组成, 则称这些支路与该回路关联
回路支路关联矩阵规则:
- 行对应回路, 列对应支路
元素的值:
- +1 表示支路与回路相关联, 且它们的方向一致
- -1 表示支路与回路相关联, 且它们的方向相反
- 0 表示支路与回路无关联
3. 割集-支路 关联矩阵(割集矩阵 $Q$ )
设一个割集由某些支路构成, 则称这些支路与该割集关联
割集矩阵规则:
- 行对应割集, 列对应支路
元素的值:
- +1 表示支路与割集关联且具有同一方向
- -1 表示支路与割集关联且它们方向相反
- 0 表示支路与割集无关联
2. 电路参数矩阵
支路电流列向量($\dot{I}$)
* 支路电流列向量作为未知量并不能参与列写矩阵方程
支路电压列向量($\dot{U}$)
* 支路电压列向量作为未知量并不能参与列写矩阵方程
回路电流列向量($\dot{I}_l$)
* 常作为待求变量参与列写矩阵方程
结点电压列向量($\dot{U}_n$)
* 常作为待求变量参与列写矩阵方程
支路阻抗/导纳矩阵($Z \;or\;Y$)
- 单纯的支路阻抗矩阵是一个对角阵, 其行列均表示支路, 矩阵元素表示阻抗值
对于非独立元件(例如受控电源或互感元件), 其所在列对应其控制量, 所在行对应其所在支路
具有互感元件的电路在列写阻抗矩阵时, 互感阻抗所在列为与之相乘的电流量(或为电压量)
具有受控电源的电路在列写阻抗矩阵时, 受控电源所在列为与之相乘的控制量
$\star$ 3. 电路定理和电路一般分析法的矩阵表示
KCL
$$A_a \cdot \dot{I} = 0$$
KVL
$$B \cdot \dot{U} = 0$$
结点电压法
$$ \left\{ \begin{gather} A_a \cdot \dot{U}_n = \dot{U} \\ A_a \cdot \dot{I} = 0 \\ \dot{I} = Y(\dot{U}+\dot{U}_S)-\dot{I}_S \quad ({\bold *}) \end{gather} \right. ~\\ ~\\ ~\\ \Rightarrow \qquad \boxed{ \begin{aligned} AYA^T\dot{U}_n &= A\dot{I}_S-AY\dot{U}_S \\ &=A(\dot{I}_S-Y\dot{U}_S) \end{aligned} } $$
- 上式中, (*)式又叫做支路方程
- 式中$AYA^T$又被称作结点导纳矩阵
回路电流法
$$ \left\{ \begin{gather} B \cdot \dot{I}_l = \dot{I} \\ B \cdot \dot{U} = 0 \\ \dot{U} = Z(\dot{I}+\dot{I}_S)-\dot{U}_S \quad ({\bold *}) \end{gather} \right. ~\\ ~\\ ~\\ \Rightarrow \qquad \boxed{ \begin{aligned} BZB^T\dot{I}_l&=B\dot{U}_S-BZ\dot{I}_S \\ &=B(\dot{U}_S-Z\dot{I}_S) \end{aligned} } $$
- 上式中, (*)式又叫做支路方程
- 式中$BZB^T$又被称作回路阻抗矩阵
割集电压法
- 割集电压是指由割集划分的两分离部分之间的一种假想电压
- 当选单树枝割集(基本割集)作为独立割集时, 树枝电压就是割集电压
- 结点电压法是割集电压法的一个特例, 因此割集电压法的列写元素与结点电压法相同
$$ \left\{ \begin{gather} Q_f\dot{I}=0 \\ \dot{U}=Q_f^T\dot{U}_t \\ \dot{I}=Y(\dot{U}+\dot{U}_S)-\dot{I}_S \end{gather} \right. ~\\ ~\\ ~\\ \Rightarrow \qquad \boxed{ Q_fYQ_f^T\dot{U}_t=Q_f\dot{I}_S-Q_fY\dot{U}_S } $$
支路导纳矩阵快速列写方法
自导纳
对角线上的是自导纳
互导纳
支路间的互导纳分布在支路交叉处, 取负值, 注意行列位置
5. 二端口网络
1. 二端口参数矩阵
1. 导纳矩阵(Y参数)
定义: 将两个端口各施加一电压源, 则端口电流可视为电压源单独作用时产生的电流之和
Y参数方程
$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{I}_1&=Y_{11}\dot{U}_1+Y_{12}\dot{U}_2 \\ \dot{I}_2&=Y_{21}\dot{U}_1+Y_{22}\dot{U}_2 \end{aligned} \right. $$
Y参数矩阵
$$ \begin{bmatrix} \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} Y_{11}&Y_{12} \\ Y_{21}&Y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{U}_1 \\ \dot{U}_2 \end{bmatrix} $$
物理意义
$$ \begin{aligned} Y_{11}&=\frac{\dot{I}_1}{\dot{U}_1}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Input\ admittance}} \\ Y_{21}&=\frac{\dot{I}_2}{\dot{U}_1}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ admittance}} \\ Y_{12}&=\frac{\dot{I}_1}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{U}_1=0} \quad {\bold {Transfer\ admittance}} \\ Y_{22}&=\frac{\dot{I}_2}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{U}_1=0} \quad {\bold {Output\ admittance}} \end{aligned} $$
2. 阻抗矩阵(Z参数)
定义:将两个端口各施加一电流源, 则端口电压可视为电流源单独作用时的叠加
Z参数方程
$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1&=Z_{11}\dot{I}_1+Z_{12}\dot{I}_2 \\ \dot{U}_2&=Z_{21}\dot{I}_1+Z_{22}\dot{I}_2 \end{aligned} \right. $$
Z参数矩阵
$$ \begin{bmatrix} \dot{U}_1 \\ \dot{U}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} U_{11}&U_{12} \\ U_{21}&U_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{bmatrix} $$
物理意义
$$ \begin{aligned} Z_{11}&=\frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_1}\Bigg\lvert_{\dot{I}_2=0} \quad {\bold {Input\ impedance}} \\ Z_{21}&=\frac{\dot{U}_2}{\dot{I}_1}\Bigg\lvert_{\dot{I}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ impedance}} \\ Z_{12}&=\frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_1=0} \quad {\bold {Transfer\ impedance}} \\ Z_{22}&=\frac{\dot{U}_2}{\dot{I}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_1=0} \quad {\bold {Output\ impedance}} \end{aligned} $$
3. 传输矩阵(T参数)
T参数也称为传输参数, 反应输入与输出之间的关系.
Z参数方程
$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1&=A\dot{U}_2-B\dot{I}_2 \\ \dot{I}_1&=C\dot{U}_2-D\dot{I}_2 \end{aligned} \right. $$
Z参数矩阵
$$ \begin{bmatrix} \dot{U}_1 \\ \dot{I}_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A&B \\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{U}_2 \\ -\dot{I}_2 \end{bmatrix} $$
物理意义
$$ \begin{aligned} A&=\frac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ voltage}} \\ B&=\frac{\dot{U}_1}{-\dot{I}_2}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ impedance}} \\ C&=\frac{\dot{I}_1}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ admittance}} \\ D&=\frac{\dot{I}_1}{-\dot{I}_2}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ current}} \end{aligned} $$
4. 混合矩阵(H参数)
定义:一个端口的电压/电流, 与另一个端口的电流/电压之间的关系.
H参数方程
$$ \left\{ \begin{aligned} \dot{U}_1&=H_{11}\dot{I}_1+H_{12}\dot{U}_2 \\ \dot{I}_2&=H_{21}\dot{I}_1+H_{22}\dot{U}_2 \end{aligned} \right. $$
H参数矩阵
$$ \begin{bmatrix} \dot{U}_1 \\ \dot{I}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} H_{11}&H_{12} \\ H_{21}&H_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{I}_1 \\ \dot{U}_2 \end{bmatrix} $$
物理意义
$$ \begin{aligned} H_{11}&=\frac{\dot{U}_1}{\dot{I}_1}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Input\ impedance}} \\ H_{21}&=\frac{\dot{I}_2}{\dot{I}_1}\Bigg\lvert_{\dot{U}_2=0} \quad {\bold {Transfer\ current}} \\ H_{12}&=\frac{\dot{U}_1}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_1=0} \quad {\bold {Transfer\ voltage}} \\ H_{22}&=\frac{\dot{I}_2}{\dot{U}_2}\Bigg\lvert_{\dot{I}_1=0} \quad {\bold {Output\ admittance}} \end{aligned} $$
5. 各参数矩阵间的变换方法
略
2. 二端口的连接
1. 级联(链连)
级联系统的复合二端口的T参数矩阵为两级联矩阵的T参数的向量积
即:
$$ T = T^{'}T^{''} $$
2. 并联
并联系统的复合二端口的Y参数矩阵为两并联矩阵的Y参数的和
即:
$$ Y=Y^{'}+Y^{''} $$
3. 串联
串联系统的复合二端口的Z参数矩阵为两串联矩阵的Z参数的和
即:
$$ Z=Z^{'}+Z^{''} $$
注: 串联后端口条件可能被破坏, 需要检查端口条件
3. 回转器和负阻抗变换器
6. 非线性电路
1. 非线性元件
2. 非线性电路的方程
3. 小信号分析法
小信号分析法的步骤
- 求解非线性电路的静态工作点
- 求解非线性电路的动态电导或动态电阻
- 做出静态工作点处的小信号等效电路
- 根据小信号等效电路求解
