线性代数(C)笔记

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ciaoly 2018年05月26日
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线性代数C复习用资料整理

Author chaoL

行列式的性质

n阶行列式等于它

矩阵A与矩阵行列式|A|的关系

|AB| = |A|\times|B|

​ 行列式是一个数,一个进行特定运算后的得出的数;而矩阵是一个数表,是一系列数的整体。它们(行列式、矩阵、向量组、线性空间)一些属性从定义开始就存在非常大的联系,如:矩阵的秩是最高阶非零子式的维数。因此这也为关于它们的问题之间的转换提供了可能。

​ 我觉得行列式与矩阵最主要的联系体现在:|AB| = |A| |B| 。这将两个截然不同的东西联系到了一起,进而推出了后面的定理。

矩阵A的行列式|A|与零的关系

|A|=0的充分必要条件:

  • <=> A不可逆 (又称奇异)
  • <=> A的列(行)向量组线性相关
  • <=> R( A)<n
  • <=> AX = 0 有非零解
  • <=> A有特征值0.
  • <=> A不能表示成初等矩阵的乘积
  • <=> A的等价标准形不是单位矩阵

|A|\not= 0的充分必要条件:

  • <=> A可逆 (又非奇异)
  • <=> 存在同阶方阵B满足 AB = E (or BA = E)
  • <=> R(A)=n
  • <=> R(A^{*})=n
  • <=> |A^{*}|\not= 0
  • <=> A的列(行)向量组线性无关
  • <=> AX=0 仅有零解
  • <=> AX=b 有唯一解
  • <=> 任一n维向量都可由A的列向量组唯一线性表示
  • <=> A可表示成初等矩阵的乘积
  • <=> A的等价标准形是单位矩阵
  • <=> A的行最简形是单位矩阵
  • <=> A的特征值都不等于0.
  • <=> A^TA是正定矩阵.

矩阵的秩

定义:一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)rk(A)rank A

设A是一组向量,定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。

矩阵的秩的性质

矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)rk(A)

m\times n矩阵的秩最大为mn中的较小者,表示为min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩;类似的,否则矩阵是秩不足(或称为“欠秩”)的。一个“满秩”的矩阵是可逆矩阵,其行列式不为零;一个“欠秩”的矩阵不可逆,其行列式为零,又称“奇异矩阵”。

性质总结如下:

  1. 转置后秩不变

  2. r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

  3. r(kA)=r(A),k不等于0

  4. r(A)=0 <=> A=0

  5. r(A+B)<=r(A)+r(B)

  6. r(AB)<=min(r(A),r(B))

  7. r(A)+r(B)-n<=r(AB)

  8. P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

矩阵的子矩阵与伴随矩阵

子矩阵的定义:

定义1. 在m*n矩阵A中,任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A的一个k阶子式。

例如,在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列,它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。

定义2. A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩,记作rA,或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

子矩阵和伴随矩阵的关系:

l 当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。

l 当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)。

矩阵求秩

通过初等行变换(就是一行的多少倍加的另一行,或行交换,或者某一行乘以一个非零倍数)把矩阵化成行阶梯型(行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大,形象的说就是形成一个阶梯,).这样数一下非零行(零行就是全是零的行,非零行就是不全为零的行)的个数就是秩.

求逆矩阵

矩阵和行列式的初等变换

行列式的初等变换

行列式是一个值, 它有若干个性质, 比如交换两行(列)行列式变符号。在这里, 我们并不把这类变换称为行列式的初等变换, 而是称之为行列式的性质

  我们称对行列式的换法变换、倍法变换、消法变换为行列式的初等变换**.**

  1.   换法变换:交换两行(列).

  2.   倍法变换:将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k.

  3.   消法变换:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一个数k并加到另一行(列)的对应元素上.

注:换法变换的行列式要变号;倍法变换的行列式要变k倍;消法变换的行列式不变.

矩阵的初等变换

矩阵是一个数表,矩阵的初等行变换来源于解线性方程组时用的消元法

矩阵的每一行对应一个方程,交换矩阵的两行相当于交换了方程组中两个方程的位置, 其它行变换都保持方程组的同解性。然后又推广到矩阵的初等列变换。

  矩阵的初等行变换和初等列变换**,**统称矩阵的初等变换.

初等行变换:

  1.   对调两行;

  2.   以数k≠0乘某一行的所有元素;

  3.   把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去.

  把上面定义中的“行”换成“列”,既得矩阵的初等列变换的定义.

  如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价.

  另外:分块矩阵也可以定义初等变换.

矩阵初等变换和初等矩阵的关系

初等矩阵是指,由单位矩阵经过一次矩阵初等变换得到的矩阵。

初等矩阵的性质:

1、单位矩阵第i,j两行互换得到的方阵为 ,将矩阵 的第i,j两行互换所得矩阵 ,即有 = * 。

说明:任意矩阵 的交换i,j行(列),取决于 是左乘 ,还是右乘 ,即: 是交换行i,j变换, 是交换列i,j变换。

2、单位矩阵第i行乘以常数k得到初等方阵 ,将矩阵 的第i行乘以k得到矩阵 ,即有 = * 。

说明:任意矩阵 的行(列)乘以常数k,取决于 是左乘 ,还是右乘 ,即 : 是矩阵 行乘以常数k变换, 是矩阵 列乘以常数k变换。

3、将单位矩阵的第i行的k倍加到第j行得到初等方阵 ,矩阵 的第i行的k倍加到第j行得到矩阵 ,即有 = ;将单位矩阵的第j列的k倍加到第i列得到初等方阵 ,矩阵 的第j列的k倍加到第i列得到矩阵 ,即有 =

说明:任意矩阵 与初等矩阵相乘,表示对A进行初等变换,但对A进行的是行初等变换还是列变换,取决于初等矩阵 是左乘 ,还是右乘 ,即: 是行初等变换,此时 的变换表示将 的第i行的k倍加到第j行(顺序从前向后); 是列初等变换,此时 的变换表示将 的第j列的k倍加到第i列(顺序从后向前)。

[chaoL1] 矩阵和行列式初等变换的比较:

  简单的说就是行列式进行变换的时候不能改变行列式的值,变换的时候用等于号表示;而矩阵初等变换只要不改变矩阵的秩就可以了.

  (比如说某行元素有公因子,行列式提取出来之后必须放在行列式的外面,不能丢弃掉,不然值就变了;而矩阵则可以直接扔掉这个公因子,但矩阵初等变换后新矩阵的行列式大小成倍增大或减小)

关于矩阵的列变换

对不同的问题,结果是不同的。

比如计算行列式,互换会改变行列式的正负号;再如,求线性方程组的解时,如果是AX=b 这种形式,A的列是不能轻易改变的,因为X的分量按顺序分别对应A的列向量,一旦列的位置改变,解就变了。

矩阵列变换的使用情况

如果是化成阶梯形求秩的话,可以行变换也可以列变换。求线性方程组时,只对系数矩阵进行行变换,求向里组的极大无关应矩阵做行变换。

矩阵与向量

如何用最大无关向量组线性表示无关组外的向量?

  1. 将向量以列向量形式构成矩阵

  2. 用初等行变换化为行最简形

  3. 每一非零行的首位1所在的列即为最大无关组的向量序号

  4. 非首位列与每一非零行的交点处的数由上至下依次为该列所对应向量用最大组元素线性表示时最大组元素对应的系数

例:

(α1,α2,α3,α4,α5,α6)-->行最简形

1 0 0 0 4 -8

0 1 2 0 -3 3

0 0 0 1 2 5

0 0 0 0 0 0

非零行的首非零元三个1位于1,2,4列,对应向量 α1,α2,α4,是向量组的一个极大无关组

看第3列与那三个1对应的数,有 α3=2α2

看第5列与那三个1对应的数,有 α5=4α1-3α2+2α4

看第6列与那三个1对应的数,有 α6=-8α1+3α2+5α4

矩阵/向量/方程组/行列式

克拉默法则(行列式与方程组)

克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组

克莱姆法则求解非齐次方程组:

记法1**:**若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0。有唯一解,其解为

记法2**:**若线性方程组⑴的系数矩阵可逆(非奇异),即系数行列式 D≠0,则线性方程组⑴有唯一解,其解为

其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

记法1**是将解写成矩阵(列向量)形式,而记法2**是将解分别写成数字,本质相同。[chaoL2]

克莱姆法则求解齐次方程组:

  1. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。根据系数行列式为零,得出该齐次方程组的系数矩阵为“欠秩”矩阵,则其r<n,有无穷多解。

  2. 方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零,其矩阵可逆。

矩阵与线性方程组

矩阵是线性方程组的表示。

什么是线性方程?

  1. 满足scaling,即f(ax)=af(x)

  2. 满足superposition,即f(a+b)=f(a)+f(b)

[chaoL3] 对于矩阵A,满足scaling和superposition,所以用矩阵A表述的方程组是线性方程组的紧密表示。

矩阵与非齐次方程组

将方程组的系数依次列为矩阵元素则为“系数矩阵”,将系数和常数项依次列为矩阵元素则为“增广矩阵”。

根据系数矩阵和增广矩阵的秩的大小关系来判断方程组解的情况。

设方程AX=b,系数矩阵为(A),它的增广矩阵为(A b)。

则该方程的解的情况如下所示:

r(A)<r(A b) 方程组无解
r(A)=r(A b)=n 方程组有唯一解
r(A)=r(Ab)<n 方程组无穷解
r(A)>r(Ab) 不可能,因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩

[chaoL1]公式待补全

[chaoL2]公式待编辑。参考地址: https://wapbaike.baidu.com/item/%e5%85%8b%e8%8e%b1%e5%a7%86%e6%b3%95%e5%88%99/7211518?adapt=1&fromtitle=%E5%85%8B%E6%8B%89%E9%BB%98%E6%B3%95%E5%88%99&fromid=911408&fr=aladdin

[chaoL3]公式待编辑